Физика для Всех!

Числа Пи.

Число Пи является математической константой отношения длины окружности к её радиусу. История числа Пи начинается с Древнего Египта. Невозможно представить развитие математики без числа Пи. В наше время число Пи используется во всех научных сферах и областях народного хозяйства. С использованием каждой математической константы облегчаются и упрощаются расчёты. Расширение математических констант, это новый математический инструмент, который позволит сократить время расчёта.

Введём в математику новые значения чисел Пи. Для чисел Пи в дальнейшем потребуются специальные таблицы. На примере правильных многоугольников покажем и докажем, что чисел Пи в математике должно быть много.   

        Возле правильного многоугольника можно вписать и описать окружность. Если сравнить отношения длин этих окружностей с периметром правильных многоугольников, то получим числа Пи, которые не зависят от размеров этих фигур. Если сравнить отношение площадей вписанных и описанных окружностей, к площадям правильных многоугольников, то получим числа Пи, которые не зависят от размеров этих фигур.

Числа Пи надо вводить и в объёмные фигуры, где шары, вписанные и описанные, внутри и около куба, цилиндра, разных конусов. Здесь так же отношения поверхностей или объёмов шаров и фигур остаются константами и не зависят от размеров. Подобного рода константы распространяются на все подобные геометрические фигуры, вписанные и описанные друг возле друга, независимо от их размеров, например: цилиндры, вписанные и описанные возле конусов или конуса, вписанные и описанные возле цилиндров. Подобие фигур и их соприкосновения с вписанными или описанными фигурами на этом не ограничивается, поэтому чисел Пи много, а определить их размеры и объёмы при переходе к другим размерам становиться очень просто. Числа Пи из отношения  элементов вписанных и описанных фигур, при переносе их на подобные, всё эти приёмы упрощают расчёты в математике.    

        Расчёт чисел Пи ведём до шестого знака после запятой, здесь не нужна большая точность, важен принцип образования  чисел Пи, для вписанных и описанных фигур.

 

                                          Правильный треугольник.

а – сторона треугольника,

R – радиус, описанной окружности,

r – радиус, вписанной окружности,

P – периметр треугольника,

L – длина окружности

S (3) – площадь треугольника,

S (o) -  площадь окружности,

Пи = 3,141593

Правильный треугольник, вписанный в окружность.

Находим периметр треугольника.

P = 3а = 3 R*3^1/2 = 5,196152 R

Находим длину окружности:

L = Пи *2*R

Находим Пи отношения  длины описанной окружности к периметру треугольника:

Пи (о/3) = L / P = Пи *2* R / 5,196152 R = Пи *2 / 5,196152 =  1,20920

Пи (о/3) = 1,20920

Находим Пи отношения  периметра треугольника к длине описанной окружности:

Пи (3/о) = P / L = 5,196152 R / Пи *2* R = 5,196152  / Пи *2 = 5,196152 / 3,141593*2 =  0,826993

Пи (3/о) = 0,826993 

Находим Пи для  отношений площади описанной окружности к площади треугольника.

S (o) = Пи* R^2

S (3) = R^2 *(3 *3^1/2) / 4 = 1,299038 R^2

Пи (пл.о/3) = Пи* R^2 / 1,299038 R^2 = 3,141593/1,299038 = 2,41840

Пи (пл.о/3) = 2,41840

Находим Пи для  отношений площади треугольника к площади описанной окружности:

Пи (пл.3/о)  = 1/ Пи (пл.о/3) = 1/ 2,41840 = 0,413497

Пи (пл.3/о)  = 0,413497.

 

Окружность, вписанная в правильный треугольник.

Находим периметр треугольника через радиус вписанной окружности:

P = 3a = 3*2r *3^1/2 = 10,392305 r

Находим длину окружности:

L = Пи *2*r

Находим Пи отношения  длины вписанной окружности к периметру треугольника:

Пи (в/3) = L / P = Пи *2* r  / 10,392305 r = 3,141593*2* r  / 10,392305 r = 0,60460

Пи (в/3) = 0,60460

Пи (3/в) = 1/Пи (в/3) = 1,653987

Пи (3/в) = 1,653987.

 

                                         Правильный четырёхугольник.

 

а – сторона четырёхугольника,

R – радиус, описанной окружности,

r – радиус, вписанной окружности,

P – периметр четырёхугольника,

L – длина окружности

S (4) – площадь четырёхугольника,

S (o) -  площадь окружности,

Пи = 3,141593

Правильный четырёхугольник, вписанный в окружность.

Находим периметр треугольника.

P = 4а = 4R*2^1/2 = 5,656854R

Находим длину окружности:

L = Пи *2*R

Находим Пи отношения  длины описанной окружности к периметру четырёхугольника:

Пи (о/4) = L / P = Пи *2* R / 5,656854R = Пи *2 / 5,656854 = 3,141593*2 / 5,656854 = 1,110721

Пи (о/4) = 1,110721  

Находим Пи отношения  периметра треугольника к длине описанной окружности:

Пи (4/о) = P / L = 5,656854R / Пи *2* R = 1/ Пи (о/4)  = 1/1,110721 = 0,900316 

Пи (4/о) = 0,900316    

Находим Пи для  отношений площади описанной окружности к площади четырёхугольника.

S (o) = Пи* R^2

S (4) = 2R^2

Пи (пл.о/4) = Пи* R^2 / 2R^2 = 3,141593 / 2 = 1,570797                

Пи (пл.о/4) = 1,570797

Находим Пи для  отношений площади четырёхугольника к площади описанной окружности:

Пи (пл.4/о)  = 1/ Пи (пл.о/4) = 1/1,570797 = 0,636620             

Пи (пл.4/о)  = 0,636620             

 

Окружность, вписанная в правильный четырёхугольник.

Находим периметр четырёхугольника через радиус вписанной окружности:

P =4a = 4*2r = 8r

Находим длину окружности:

L = Пи *2*r

Находим Пи отношения  длины вписанной окружности к периметру четырёхугольника:

Пи (в/4) = L / P = Пи *2* r  / 8r  = 3,141593*2* r  / 8r = 0,785398

Пи (в/4) = 0,785398

Находим Пи отношения периметра четырёхугольника к длине вписанной окружности:

Пи (4/в) = 1/Пи (в/4) = 1,273239

Пи (4/в) = 1,273239

 

Находим Пи для  отношений площади вписанной окружности к площади четырёхугольника.

S (в) = Пи* r^2

S (4) = 4r^2

Пи (пл.в/4) = Пи* r ^2 /4r^2  = 3,141593 / 4 =  0,785398     

Пи (пл.в/4) = 0,785398                    

Находим Пи для  отношений площади четырёхугольника к площади вписанной окружности:

Пи (пл.4/в)  = 1/ Пи (пл.в/4) = 1/ 0,785398  = 1,273239 

Пи (пл.4/в)  = 1,273239 

 

                      Правильный шестиугольник.

Р = 6а = 6R– длина периметра шестиугольника.

L (о) – длина описанной окружности.

L (о) = Пи *2 R

Пи (6/о) = Р / L (о) = 6R / Пи *2 R = 3 / Пи  =  3 / 3,141593 = 0,954930

Пи(о/6) = 1/ Пи (6/о) = 1,047198

L (в) – длина вписанной окружности.

Р = 6а = 6*2r * (2^1/2 -1) = 4,970563r

L (в) = Пи 2 r

Пи (6/в) = Р / L (в) = 4,970563r / Пи 2 r  =  0,791090

Пи (6/в) = 0,791090

Пи (в/6) = 1/ Пи (6/в) = 1/ 0,791090 = 1,264079

Пи (в/6) = 1,264079

Находим Пи из отношений площадей.

Находим Пи для  отношений площади вписанной окружности к площади шестиугольника:

S(6) = r^2 *8 (2^1/2 -1) = 3,313708 r^2

S(в) = Пи* r^2

Пи (пл.в/6) = Пи* r^2 / 3,313708 r^2 = Пи / 3,313708 =  3,141593 / 3,313708  =  0,948060

Находим Пи для  отношений площади шестиугольника к площади вписанной окружности:

Пи (пл.6/в) = 1 / Пи (пл.в/6) = 1,054786

Находим Пи для  отношений площади описанной окружности к площади шестиугольника:

S(6) = R ^2 *2*2^1/2 = 2,828427 R ^2

S(в) = Пи* R ^2 

Пи (пл.о/6) = Пи* R ^2   / 2,828427 R ^2 = Пи / 2,828427  =  3,141593 / 2,828427  = 1,110721  

Находим Пи для  отношений площади шестиугольника к площади описанной окружности:

Пи (пл.6/о) = 1 / Пи (пл.о/6) = 0,900316

Пи (пл.6/о) = 0,900316

 

                             Правильный восьмиугольник.

Пи = 3,141593

Находим Пи для правильного восьмиугольника и описанной окружности.

Р = 8а = 6,486343 R – длина периметра восьмиугольника.

L (о) – длина описанной окружности.

L (о) = Пи *2 R

Находим Пи из отношения периметра восьмиугольника и описанной окружности.

Пи (8/о) = Р / L (о) = 6,486343 R  / Пи *2 R = 1,032333

Находим Пи из отношения описанной окружности и периметра восьмиугольника.

Пи (о/8) = 1/Пи(о) = 0,968680

Находим Пи для правильного восьмиугольника и вписанной окружности.

Р = 8а = 6,627417 r

L (в) – длина вписанной окружности.

L (в) = Пи 2 r

Находим Пи из отношения периметра восьмиугольника и вписанной окружности

Пи (8/в) = Р / L (в) = 6,627417 r / Пи *2 r = 1,054786

Пи (в/8) =1 / Пи(8/в)  = 0,948060

Находим Пи из отношения вписанной окружности и периметра восьмиугольника

Пи (в/8) = 0,948060

Находим Пи из отношений площадей.

Пи = 3,141593

Находим площадь восьмиугольника через радиус вписанной окружности.

S = r^2 *8 (2^1/2 -1) = 3,313708 r^2

Находим Пи через отношение площади восьмиугольника к площади вписанной окружности:

Пи (пл.8/в) = 3,313708 r^2 / Пи * r^2 =  1,054786

Находим Пи через отношение площади вписанной окружности к площади

 восьмиугольника:

Пи (пл.в/8) = 1/ Пи (пл.8/в) = 0,948060

Находим площадь правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

S = R^2* 2*2^1/2 = 2,828427 R^2

Пи (пл.8/о) находим через отношение площади правильного восьмиугольника к площади описанной окружности:

Пи (пл.8/о) = 2,828427 R^2  / Пи R^2 = 2,828427 / 3,141593 = 0,900316

Находим Пи через отношение площади описанной окружности к площади правильного восьмиугольника:

Пи (пл.о/8) =  1/ Пи (пл.8/о) = 1 / 0,900316 =1,110721

Выводы. Расширение математического инструмента через ввод новых констант Пи, позволит значительно упростить расчёт, как подобных фигур на плоскости, так и объёмных тел.

15.05.2018 г.                                     А.Т. Дудин.

Числа Пи.

Число Пи является математической константой отношения длины окружности к её радиусу. История числа Пи начинается с Древнего Египта. Невозможно представить развитие математики без числа Пи. В наше время число Пи используется во всех научных сферах и областях народного хозяйства. С использованием каждой математической константы облегчаются и упрощаются расчёты. Расширение математических констант, это новый математический инструмент, который позволит сократить время расчёта.

Введём в математику новые значения чисел Пи. Для чисел Пи в дальнейшем потребуются специальные таблицы. На примере правильных многоугольников покажем и докажем, что чисел Пи в математике должно быть много.   

        Возле правильного многоугольника можно вписать и описать окружность. Если сравнить отношения длин этих окружностей с периметром правильных многоугольников, то получим числа Пи, которые не зависят от размеров этих фигур. Если сравнить отношение площадей вписанных и описанных окружностей, к площадям правильных многоугольников, то получим числа Пи, которые не зависят от размеров этих фигур.

Числа Пи надо вводить и в объёмные фигуры, где шары, вписанные и описанные, внутри и около куба, цилиндра, разных конусов. Здесь так же отношения поверхностей или объёмов шаров и фигур остаются константами и не зависят от размеров. Подобного рода константы распространяются на все подобные геометрические фигуры, вписанные и описанные друг возле друга, независимо от их размеров, например: цилиндры, вписанные и описанные возле конусов или конуса, вписанные и описанные возле цилиндров. Подобие фигур и их соприкосновения с вписанными или описанными фигурами на этом не ограничивается, поэтому чисел Пи много, а определить их размеры и объёмы при переходе к другим размерам становиться очень просто. Числа Пи из отношения  элементов вписанных и описанных фигур, при переносе их на подобные, всё эти приёмы упрощают расчёты в математике.    

        Расчёт чисел Пи ведём до шестого знака после запятой, здесь не нужна большая точность, важен принцип образования  чисел Пи, для вписанных и описанных фигур.

 

                                          Правильный треугольник.

а – сторона треугольника,

R – радиус, описанной окружности,

r – радиус, вписанной окружности,

P – периметр треугольника,

L – длина окружности

S (3) – площадь треугольника,

S (o) -  площадь окружности,

Пи = 3,141593

Правильный треугольник, вписанный в окружность.

Находим периметр треугольника.

P = 3а = 3 R*3^1/2 = 5,196152 R

Находим длину окружности:

L = Пи *2*R

Находим Пи отношения  длины описанной окружности к периметру треугольника:

Пи (о/3) = L / P = Пи *2* R / 5,196152 R = Пи *2 / 5,196152 =  1,20920

Пи (о/3) = 1,20920

Находим Пи отношения  периметра треугольника к длине описанной окружности:

Пи (3/о) = P / L = 5,196152 R / Пи *2* R = 5,196152  / Пи *2 = 5,196152 / 3,141593*2 =  0,826993

Пи (3/о) = 0,826993 

Находим Пи для  отношений площади описанной окружности к площади треугольника.

S (o) = Пи* R^2

S (3) = R^2 *(3 *3^1/2) / 4 = 1,299038 R^2

Пи (пл.о/3) = Пи* R^2 / 1,299038 R^2 = 3,141593/1,299038 = 2,41840

Пи (пл.о/3) = 2,41840

Находим Пи для  отношений площади треугольника к площади описанной окружности:

Пи (пл.3/о)  = 1/ Пи (пл.о/3) = 1/ 2,41840 = 0,413497

Пи (пл.3/о)  = 0,413497.

 

Окружность, вписанная в правильный треугольник.

Находим периметр треугольника через радиус вписанной окружности:

P = 3a = 3*2r *3^1/2 = 10,392305 r

Находим длину окружности:

L = Пи *2*r

Находим Пи отношения  длины вписанной окружности к периметру треугольника:

Пи (в/3) = L / P = Пи *2* r  / 10,392305 r = 3,141593*2* r  / 10,392305 r = 0,60460

Пи (в/3) = 0,60460

Пи (3/в) = 1/Пи (в/3) = 1,653987

Пи (3/в) = 1,653987.

 

                                         Правильный четырёхугольник.

 

а – сторона четырёхугольника,

R – радиус, описанной окружности,

r – радиус, вписанной окружности,

P – периметр четырёхугольника,

L – длина окружности

S (4) – площадь четырёхугольника,

S (o) -  площадь окружности,

Пи = 3,141593

Правильный четырёхугольник, вписанный в окружность.

Находим периметр треугольника.

P = 4а = 4R*2^1/2 = 5,656854R

Находим длину окружности:

L = Пи *2*R

Находим Пи отношения  длины описанной окружности к периметру четырёхугольника:

Пи (о/4) = L / P = Пи *2* R / 5,656854R = Пи *2 / 5,656854 = 3,141593*2 / 5,656854 = 1,110721

Пи (о/4) = 1,110721  

Находим Пи отношения  периметра треугольника к длине описанной окружности:

Пи (4/о) = P / L = 5,656854R / Пи *2* R = 1/ Пи (о/4)  = 1/1,110721 = 0,900316 

Пи (4/о) = 0,900316    

Находим Пи для  отношений площади описанной окружности к площади четырёхугольника.

S (o) = Пи* R^2

S (4) = 2R^2

Пи (пл.о/4) = Пи* R^2 / 2R^2 = 3,141593 / 2 = 1,570797                

Пи (пл.о/4) = 1,570797

Находим Пи для  отношений площади четырёхугольника к площади описанной окружности:

Пи (пл.4/о)  = 1/ Пи (пл.о/4) = 1/1,570797 = 0,636620             

Пи (пл.4/о)  = 0,636620             

 

Окружность, вписанная в правильный четырёхугольник.

Находим периметр четырёхугольника через радиус вписанной окружности:

P =4a = 4*2r = 8r

Находим длину окружности:

L = Пи *2*r

Находим Пи отношения  длины вписанной окружности к периметру четырёхугольника:

Пи (в/4) = L / P = Пи *2* r  / 8r  = 3,141593*2* r  / 8r = 0,785398

Пи (в/4) = 0,785398

Находим Пи отношения периметра четырёхугольника к длине вписанной окружности:

Пи (4/в) = 1/Пи (в/4) = 1,273239

Пи (4/в) = 1,273239

 

Находим Пи для  отношений площади вписанной окружности к площади четырёхугольника.

S (в) = Пи* r^2

S (4) = 4r^2

Пи (пл.в/4) = Пи* r ^2 /4r^2  = 3,141593 / 4 =  0,785398     

Пи (пл.в/4) = 0,785398                    

Находим Пи для  отношений площади четырёхугольника к площади вписанной окружности:

Пи (пл.4/в)  = 1/ Пи (пл.в/4) = 1/ 0,785398  = 1,273239 

Пи (пл.4/в)  = 1,273239 

 

                      Правильный шестиугольник.

Р = 6а = 6R– длина периметра шестиугольника.

L (о) – длина описанной окружности.

L (о) = Пи *2 R

Пи (6/о) = Р / L (о) = 6R / Пи *2 R = 3 / Пи  =  3 / 3,141593 = 0,954930

Пи(о/6) = 1/ Пи (6/о) = 1,047198

L (в) – длина вписанной окружности.

Р = 6а = 6*2r * (2^1/2 -1) = 4,970563r

L (в) = Пи 2 r

Пи (6/в) = Р / L (в) = 4,970563r / Пи 2 r  =  0,791090

Пи (6/в) = 0,791090

Пи (в/6) = 1/ Пи (6/в) = 1/ 0,791090 = 1,264079

Пи (в/6) = 1,264079

Находим Пи из отношений площадей.

Находим Пи для  отношений площади вписанной окружности к площади шестиугольника:

S(6) = r^2 *8 (2^1/2 -1) = 3,313708 r^2

S(в) = Пи* r^2

Пи (пл.в/6) = Пи* r^2 / 3,313708 r^2 = Пи / 3,313708 =  3,141593 / 3,313708  =  0,948060

Находим Пи для  отношений площади шестиугольника к площади вписанной окружности:

Пи (пл.6/в) = 1 / Пи (пл.в/6) = 1,054786

Находим Пи для  отношений площади описанной окружности к площади шестиугольника:

S(6) = R ^2 *2*2^1/2 = 2,828427 R ^2

S(в) = Пи* R ^2 

Пи (пл.о/6) = Пи* R ^2   / 2,828427 R ^2 = Пи / 2,828427  =  3,141593 / 2,828427  = 1,110721  

Находим Пи для  отношений площади шестиугольника к площади описанной окружности:

Пи (пл.6/о) = 1 / Пи (пл.о/6) = 0,900316

Пи (пл.6/о) = 0,900316

 

                             Правильный восьмиугольник.

Пи = 3,141593

Находим Пи для правильного восьмиугольника и описанной окружности.

Р = 8а = 6,486343 R – длина периметра восьмиугольника.

L (о) – длина описанной окружности.

L (о) = Пи *2 R

Находим Пи из отношения периметра восьмиугольника и описанной окружности.

Пи (8/о) = Р / L (о) = 6,486343 R  / Пи *2 R = 1,032333

Находим Пи из отношения описанной окружности и периметра восьмиугольника.

Пи (о/8) = 1/Пи(о) = 0,968680

Находим Пи для правильного восьмиугольника и вписанной окружности.

Р = 8а = 6,627417 r

L (в) – длина вписанной окружности.

L (в) = Пи 2 r

Находим Пи из отношения периметра восьмиугольника и вписанной окружности

Пи (8/в) = Р / L (в) = 6,627417 r / Пи *2 r = 1,054786

Пи (в/8) =1 / Пи(8/в)  = 0,948060

Находим Пи из отношения вписанной окружности и периметра восьмиугольника

Пи (в/8) = 0,948060

Находим Пи из отношений площадей.

Пи = 3,141593

Находим площадь восьмиугольника через радиус вписанной окружности.

S = r^2 *8 (2^1/2 -1) = 3,313708 r^2

Находим Пи через отношение площади восьмиугольника к площади вписанной окружности:

Пи (пл.8/в) = 3,313708 r^2 / Пи * r^2 =  1,054786

Находим Пи через отношение площади вписанной окружности к площади

 восьмиугольника:

Пи (пл.в/8) = 1/ Пи (пл.8/в) = 0,948060

Находим площадь правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

S = R^2* 2*2^1/2 = 2,828427 R^2

Пи (пл.8/о) находим через отношение площади правильного восьмиугольника к площади описанной окружности:

Пи (пл.8/о) = 2,828427 R^2  / Пи R^2 = 2,828427 / 3,141593 = 0,900316

Находим Пи через отношение площади описанной окружности к площади правильного восьмиугольника:

Пи (пл.о/8) =  1/ Пи (пл.8/о) = 1 / 0,900316 =1,110721

Выводы. Расширение математического инструмента через ввод новых констант Пи, позволит значительно упростить расчёт, как подобных фигур на плоскости, так и объёмных тел.

15.05.2018 г.                                     А.Т. Дудин.